Алгоритм — это чёткая последовательность действий, которая превращает входные данные в результат. Это не набор случайных команд, а продуманная инструкция, которую можно выполнить шаг за шагом — человеком, машиной или механизмом. Проще говоря: алгоритм показывает, как из данных получить ответ, и делает это по строгим правилам.
Что такое алгоритм?
Алгоритм описывает пошаговую процедуру: берёт вход, обрабатывает и выдаёт выход. Он может быть записан на естественном языке, в виде псевдокода или реализован в программе, но в любом виде остаётся структурированным способом решения задачи. Рецепт приготовления, инструкция по сборке мебели и программа сортировки — все это примеры алгоритмов.
Ключевые свойства алгоритма:
- дискретность — алгоритм разбит на отдельные шаги, каждый из которых выполняется за конечное время;
- детерминированность — при одинаковых входных данных алгоритм даёт одинаковый результат;
- понятность — инструкции сформулированы так, чтобы исполнитель мог их однозначно выполнить;
- завершаемость — алгоритм должен завершаться за конечное число шагов;
- массовость — алгоритм применим к целому классу однотипных задач;
- результативность — по окончании работы алгоритм выдаёт определённый результат.
История возникновения термина "алгоритм"
Идея пошаговых вычислений существовала задолго до появления компьютеров: люди умели выполнять арифметические операции и находить наибольшие общие делители ещё в глубокой древности. Сам термин связан с именем математика Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми. Около 825 года он написал трактат, в котором систематически описал позиционную десятичную систему и использование нуля. Латинский перевод его работы в XII веке получил название "Algoritmi de numero Indorum", и от латинизированного имени автора произошло слово "алгоритм".
В последующие столетия понятие расширялось: Лейбниц и Эйлер применяли идеи алгоритмичности к разным областям математики, а с развитием вычислительной техники в XX веке алгоритмы стали центральной темой информатики.
Формализация понятия алгоритма
В XX веке математики сформировали строгие модели вычислений, которые позволили точно описать, что такое алгоритм и какие функции вычислимы.
Машина Тьюринга
Машина Тьюринга, предложенная в 1936 году, — абстрактная модель с бесконечной лентой, головкой для чтения и записи и набором правил перехода. На каждом шаге машина читает символ, меняет состояние, пишет символ и сдвигает головку. Тезис Чёрча—Тьюринга утверждает, что всё, что может быть вычислено алгоритмически, можно реализовать на машине Тьюринга.
Рекурсивные функции
В 1930-х годах учёные разработали теорию рекурсивных функций: сложные функции строятся из простых с помощью ограниченного набора операций. Тезис Чёрча связывает этот подход с вычислимостью: частично рекурсивные функции совпадают с теми, что вычисляются машиной Тьюринга.
Нормальные алгоритмы Маркова
В 1950‑х Андрей Марков предложил нормальные алгоритмы — систему последовательных подстановок для преобразования символьных строк. Они показывают, что алгоритмы можно свести к правилам замены символов, что ещё раз подтверждает универсальность формализаций.
Стохастические алгоритмы
Стохастические алгоритмы используют случайность: это полезно, когда детерминированный путь слишком сложен. Существуют алгоритмы типа Лас-Вегас, которые всегда дают правильный ответ, но время работы варьируется, и алгоритмы типа Монте‑Карло, которые работают быстрее, но допускают небольшую вероятность ошибки. На практике чаще применяются псевдослучайные числа, генерируемые алгоритмически.
Другие подходы к формализации
Кроме классических моделей развивались многоленточные и недетерминированные машины Тьюринга, регистровые машины, конечные и клеточные автоматы — каждая модель подчёркивает разные аспекты вычислимости и сложности.
Классификация алгоритмов
Алгоритмы разделяют по разным признакам, что помогает выбрать подходящий метод для задачи:
- механические алгоритмы — каждый шаг строго определён;
- гибкие алгоритмы — используются элементы случайности или эвристики;
- линейные алгоритмы — последовательность без ветвлений и повторений;
- разветвляющиеся алгоритмы — выполнение зависит от условий;
- циклические алгоритмы — повторение действий до выполнения условия;
- вспомогательные алгоритмы — модули, используемые внутри более крупных процедур.
Анализ и эффективность алгоритмов
Корректность важна, но без эффективности алгоритм едва ли пригоден на практике. Анализ алгоритмов помогает оценить затраты времени и памяти и выбрать оптимальный подход для конкретных объёмов данных.
Время работы и сложность
Временная сложность показывает, как растёт время выполнения при увеличении объёма входа n. Для описания асимптотического поведения используют нотацию O-большое. Она не зависит от конкретной машины или реализации, а отражает масштабируемость алгоритма: O(n²) растёт квадратично, O(log n) — очень медленно и т. д.
| Сложность | Комментарий | Примеры |
|---|---|---|
| O(1) | Устойчивое время работы не зависит от размера задачи. | Ожидаемое время поиска в хеш-таблице. |
| O(log log n) | Очень медленный рост необходимого времени. | Ожидаемое время работы интерполирующего поиска n элементов. |
| O(log n) | Логарифмический рост — удвоение размера задачи увеличивает время работы на постоянную величину. | Вычисление x^n; Двоичный поиск в массиве из n элементов. |
| O(n) | Линейный рост — удвоение размера задачи удвоит и необходимое время. | Сложение/вычитание чисел из n цифр; Линейный поиск в массиве из n элементов. |
| O(n log n) | Линеаритмичный рост — удвоение размера задачи увеличит необходимое время чуть более, чем вдвое. | Сортировка слиянием или кучей n элементов; нижняя граница сортировки сравнением n элементов. |
| O(n^2) | Квадратичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в четыре раза. | Элементарные алгоритмы сортировки. |
| O(n^3) | Кубичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в восемь раз. | Обычное умножение матриц. |
| O(c^n) | Экспоненциальный рост — увеличение размера задачи на 1 приводит к c-кратному увеличению времени. | Некоторые задачи коммивояжёра, полный перебор. |
Алгоритмически неразрешимые задачи
Формализация вычислений позволила доказать, что некоторые задачи принципиально неразрешимы алгоритмически. Классический пример — проблема остановки, сформулированная Тьюрингом: нельзя построить универсальную процедуру, которая для любой программы и её входных данных определяет, завершится ли программа. Это ограничение лежит в основе теоретической информатики.
Представление алгоритмов
Алгоритмы удобнее и понятнее представлять разными способами в зависимости от целей и аудитории:
- словесное описание — для быстрой передачи идеи;
- алгоритмические языки и псевдокод — для точного описания перед кодированием;
- машинный код — низкоуровневое представление для процессора;
- математическая нотация — компактна для численных методов;
- схемы и блок-схемы — наглядное визуальное представление логики.
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида — один из старейших и самых простых способов найти наибольший общий делитель двух целых чисел. Идея проста: заменить большее число на разность с меньшим и повторять, пока одно из чисел не станет нулём. Практичнее использовать деление с остатком.
Рекурсивный вариант в псевдокоде:
алг нод(a, b) нач если b = 0 возврат a иначе возврат нод(b, a mod b) кон
Пример вычисления НОД для 1599 и 650 по шагам:
- Шаг 1 — 1599 = 650 * 2 + 299.
- Шаг 2 — 650 = 299 * 2 + 52.
- Шаг 3 — 299 = 52 * 5 + 39.
- Шаг 4 — 52 = 39 * 1 + 13.
- Шаг 5 — 39 = 13 * 3 + 0.
Когда остаток становится нулём, НОД равен последнему ненулевому остатку, то есть 13. Этот пример наглядно показывает конечность и результативность алгоритма.
